本书是为理工科大学各专业普遍开设的“数值分析”课程编写的教材。其内容包括插值与逼近,数值微分与数值积分,非线性方程与线性方程组的数值解法,矩阵的特征值与特征向量计算,常微分方程数值解法。每章附有习题并在书末给出部分答案,书末还附有计算实习题和并行算法简介。全书阐述严谨,脉络分明,深入浅出,便于教学。本书也可作为理工科大学各专业研究生学位课程的教材,并可供从事科学计算的科技工作者参考。
目录
- 第1章绪论(1)
- 1.1数值分析研究对象与特点(1)
- 1.2数值计算的误差(3)
- 1.2.1误差来源与分类(3)
- 1.2.2误差与有效数字(4)
- 1.2.3数值运算的误差估计(8)
- 1.3误差定性分析与避免误差危害(10)
- 1.3.1病态问题与条件数(11)
- 1.3.2算法的数值稳定性(12)
- 1.3.3避免误差危害的若干原则(14)
- 评注(18)
- 习题(18)
- 第2章插值法(21)
- 2.1引言(21)
- 2.2拉格朗日插值(23)
- 2.2.1线性插值与抛物插值(23)
- 2.2.2拉格朗日插值多项式(26)
- 2.2.3插值余项与误差估计(28)
- 2.3均差与牛顿插值公式(31)
- 2.3.1均差及其性质(31)
- 2.3.2牛顿插值公式(33)
- 2.4差分与等距节点插值(35)
- 2.4.1差分及其性质(35)
- 2.4.2等距节点插值公式(38)
- 2.5埃尔米特插值(41)
- 2.6分段低次插值(45)
- 2.6.1高次插值的病态性质(45)
- 2.6.2分段线性插值(47)
- 2.6.3分段三次埃尔米特插值(48)
- 2.7三次样条插值(51)
- 2.7.1三次样条函数(51)
- 2.7.2样条插值函数的建立(52)
- 2.7.3误差界与收敛性(57)
- 评注(58)
- 习题(58)
- 第3章函数逼近与曲线拟合(61)
- 3.1函数逼近的基本概念(61)
- 3.1.1函数逼近与函数空间(61)
- 3.1.2范数与赋范线性空间(64)
- 3.1.3内积与内积空间(65)
- 3.2正交多项式(69)
- 3.2.1正交函数族与正交多项式(69)
- 3.2.2勒让德多项式(71)
- 3.2.3切比雪夫多项式(74)
- 3.2.4其他常用的正交多项式(77)
- 3.3最佳一致逼近多项式(78)
- 3.3.1基本概念及其理论(78)
- 3.3.2最佳一次逼近多项式(81)
- 3.4最佳平方逼近(83)
- 3.4.1最佳平方逼近及其计算(83)
- 3.4.2用正交函数族作最佳平方逼近(87)
- 3.5曲线拟合的最小二乘法(90)
- 3.5.1最小二乘法及其计算(90)
- 3.5.2用正交多项式做最小二乘拟合(96)
- 3.6最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换(99)
- 3.6.1最佳平方三角逼近与三角插值(99)
- 3.6.2快速傅氏变换(FFT)(102)
- 3.7有理逼近(108)
- 3.7.1有理逼近与连分式(108)
- 3.7.2帕德逼近(110)
- 评注(114)
- 习题(115)
- 第4章数值积分与数值微分(118)
- 4.1引言(118)
- 4.1.1数值求积的基本思想(118)
- 4.1.2代数精度的概念(120)
- 4.1.3插值型的求积公式(121)
- 4.1.4求积公式的收敛性与稳定性(122)
- 4.2牛顿\|柯特斯公式(123)
- 4.2.1柯特斯系数(123)
- 4.2.2偶阶求积公式的代数精度(125)
- 4.2.3几种低阶求积公式的余项(126)
- 4.3复化求积公式(127)
- 4.3.1复化梯形公式(128)
- 4.3.2复化辛普森求积公式(129)
- 4.4龙贝格求积公式(131)
- 4.4.1梯形法的递推化(131)
- 4.4.2龙贝格算法(133)
- 4.4.3理查森外推加速法(135)
- 4.5高斯求积公式(139)
- 4.5.1一般理论(139)
- 4.5.2高斯\|勒让德求积公式(144)
- 4.5.3高斯\|切比雪夫求积公式(146)
- 4.6数值微分(148)
- 4.6.1中点方法与误差分析(148)
- 4.6.2插值型的求导公式(150)
- 4.6.3利用数值积分求导(153)
- 4.6.4三次样条求导(155)
- 4.6.5数值微分的外推算法(156)
- 评注(157)
- 习题(158)
- 第5章解线性方程组的直接方法(161)
- 5.1引言与预备知识(161)
- 5.1.1引言(161)
- 5.1.2向量和矩阵(162)
- 5.1.3特殊矩阵(163)
- 5.2高斯消去法(165)
- 5.2.1高斯消去法(166)
- 5.2.2矩阵的三角分解(172)
- 5.3高斯主元素消去法(174)
- 5.3.1列主元素消去法(176)
- 5.3.2高斯\|若当消去法(180)
- 5.4矩阵三角分解法(183)
- 5.4.1直接三角分解法(183)
- 5.4.2平方根法(188)
- 5.4.3追赶法(193)
- 5.5向量和矩阵的范数(196)
- 5.6误差分析(205)
- 5.6.1矩阵的条件数(205)
- 5.6.2迭代改善法(212)
- 5.7矩阵的正交三角化及应用(214)
- 5.7.1初等反射阵(215)
- 5.7.2平面旋转矩阵(218)
- 5.7.3矩阵的QR分解(220)
- 5.7.4求解超定方程组(225)
- 评注(228)
- 习题(229)
- 第6章解线性方程组的迭代法(233)
- 6.1引言(233)
- 6.2基本迭代法(236)
- 6.2.1雅可比迭代法(237)
- 6.2.2高斯\|塞德尔迭代法(238)
- 6.2.3解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法(240)
- 6.3迭代法的收敛性(243)
- 6.3.1一阶定常迭代法的基本定理(243)
- 6.3.2关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性(249)
- 6.4分块迭代法(256)
- 评注(259)
- 习题(259)
- 第7章非线性方程求根(261)
- 7.1方程求根与二分法(261)
- 7.1.1引言(261)
- 7.1.2二分法(262)
- 7.2迭代法及其收敛性(265)
- 7.2.1不动点迭代法(265)
- 7.2.2不动点的存在性与迭代法的收敛性(267)
- 7.2.3局部收敛性与收敛阶(269)
- 7.3迭代收敛的加速方法(272)
- 7.3.1埃特金加速收敛方法(272)
- 7.3.2斯蒂芬森迭代法(273)
- 7.4牛顿法(276)
- 7.4.1牛顿法及其收敛性(276)
- 7.4.2牛顿法应用举例(278)
- 7.4.3简化牛顿法与牛顿下山法(279)
- 7.4.4重根情形(282)
- 7.5弦截法与抛物线法(283)
- 7.5.1弦截法(283)
- 7.5.2抛物线法(285)
- 7.6解非线性方程组的牛顿迭代法(287)
- 评注(289)
- 习题(290)
- 第8章矩阵特征值问题计算(292)
- 8.1引言(292)
- 8.2幂法及反幂法(299)
- 8.2.1幂法(299)
- 8.2.2加速方法(304)
- 8.2.3反幂法(308)
- 8.3豪斯霍尔德方法(312)
- 8.3.1引言(312)
- 8.3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格阵(313)
- 8.3.3用正交相似变换约化对称阵为对称三对角阵(317)
- 8.4QR方法(319)
- 8.4.1QR算法(319)
- 8.4.2带原点位移的QR方法(322)
- 8.4.3用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值(325)
- 8.4.4*双步QR方法(隐式QR方法)(329)
- 评注(333)
- 习题(333)
- 第9章常微分方程初值问题数值解法(336)
- 9.1引言(336)
- 9.2简单的数值方法与基本概念(337)
- 9.2.1欧拉法与后退欧拉法(337)
- 9.2.2梯形方法(340)
- 9.2.3单步法的局部截断误差与阶(341)
- 9.2.4改进的欧拉公式(343)
- 9.3龙格\|库塔方法(344)
- 9.3.1显式龙格\|库塔法的一般形式(344)
- 9.3.2二阶显式R\|K方法(346)
- 9.3.3三阶与四阶显式R\|K方法(348)
- 9.3.4变步长的龙格\|库塔方法(351)
- 9.4单步法的收敛性与稳定性(352)
- 9.4.1收敛性与相容性(352)
- 9.4.2绝对稳定性与绝对稳定域(355)
- 9.5线性多步法(360)
- 9.5.1线性多步法的一般公式(360)
- 9.5.2阿当姆斯显式与隐式公式(362)
- 9.5.3米尔尼方法与辛普森方法(366)
- 9.5.4汉明方法(367)
- 9.5.5预测\|校正方法(368)
- 9.5.6构造多步法公式的注记和例(371)
- 9.6方程组和高阶方程(373)
- 9.6.1一阶方程组(373)
- 9.6.2化高阶方程为一阶方程组(376)
- 9.6.3刚性方程组(378)
- 评注(380)
- 习题(381)
- 计算实习题(383)
- 附录并行算法及其基本概念(388)
- 参考文献(398)
- 部分习题答案(400)