工程数学线性代数(同济大学) 超清第六版

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

线性代数 (linear algebra) 是代数学的一个分支，它以研究向量空间与线性映射为对象；由于法国数学家费马 (Fermat,1601 — 1665) 和笛卡儿 (Descartes,1596 — 1665) 的工作，线性代数基本上出现于 17 世纪。“代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到 1859 年，清代著名的数学家、翻译家李善兰（ 1811—1882 ）才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。

历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。

背景资料一 ------- 行列式

行列式 (determinant) 出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。而行列式的概念最早则是由日本数学家关孝和 (Seki Takakazu,1642 — 1708 ）在 1683 年提出来的，他在一部叫做《解伏题之法》的著作（意思是“解行列式问题的方法”）里，对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述，欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹 (G.W.Leibnitz,1646 — 1716) ，时间是在 1693 年 4 月，他在写给法国数学家洛必达 (L ′ Hospital,1661 — 1704) 的一封信中使用并给出了行列式，同时给出方程组的系数行列式为零的条件。

1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704 — 1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了由系数行列式来确定线性方程组解的重要基本公式（即人们熟悉的克莱姆法则）。 1764 年，法国数学家贝祖 (Etienne Bezout,1730 — 1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程组，他证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。

总之，在很长一段时间内，行列式知识作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A.T.Vandremonde,1735 — 1796) ，时间是 1772 年，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是行列式理论的奠基人。同一年，法国数学家拉普拉斯 (Laplace, Pierre-Simon,1749 — 1827) 在《对积分和世界体系的探讨》中，证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用 r 阶子式及其余子式来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。

1815 年，法国数学家柯西 (A.L.Cauchy,1789 — 1857) 首先提出行列式这个名称，他在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，其中主要结果之一是行列式的乘法公式。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双重足标标记法；改进并证明了拉普拉斯的行列式展开定理。 1841 年，英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821 — 1895) 首先创用了行列式记号 ∣ ∣ 。

继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (Carl Gustav Jacobi,1804 — 1851) ，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。 1841 年，雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。整个 19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理相继得到。

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史

却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。

由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。

随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。