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numpy tensordot
楔子
在numpy中有一个tensordot方法，尤其在做机器学习的时候会很有用。估计有人看到这个名字，会想到tensorflow，没错tensorflow里面也有tensordot这个函数。这个函数它的作用就是，可以让两个不同维度的数组进行相乘。我们来举个例子：
import numpy as np
a = np.random.randint(0, 9, (3, 4))
b = np.random.randint(0, 9, (4, 5))
try:
print(a * b)
except Exception as e:
print(e) # operands could not be broadcast together with shapes (3,4) (4,5)
# 很明显，a和b两个数组的维度不一样，没办法相乘
# 但是
print(np.tensordot(a, b, 1))
"""
[[32 32 28 28 52]
[10 25 40 38 78]
[56 7 28 0 42]]
"""
# 我们看到使用tensordot是可以的
下面我们来看看这个函数的用法
函数原型
@array_function_dispatch(_tensordot_dispatcher) def tensordot(a, b, axes=2):
我们看到这个函数接收三个参数，前两个就是numpy中数组，最后一个参数则是用于指定收缩的轴。它可以接收一个整型、列表、列表里面嵌套列表，具体代表什么含义我们下面举例说明。
理解axes
axes为整型
如果axes接收的是一个整型：m，那么表示指定数组a的后n个轴和数组b的前n个轴分别进行内积，就是对应位置元素相乘、再整体求和。
import numpy as np a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5)) b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8)) # 显然这两个数组不能直接相乘，但是a和后两个轴和b的前两个轴是可以直接相乘的 # 因为它们都是(4, 5), 最后结果的shape为(3, 8) print(np.tensordot(a, b, 2).shape) # (3, 8)
而且这个axes默认为2，所以它一般都是针对三维或者三维以上的数组
但是为了具体理解，后面我们会使用一维、二维数据具体举例说明。现在先看axes取不同的值，会得到什么结果，先理解一下axes的含义。
import numpy as np
a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5))
b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8))
try:
print(np.tensordot(a, b, 1).shape)
except Exception as e:
print(e) # shape-mismatch for sum
# 结果报错了，很好理解，就是形状不匹配嘛
# axes指定为1，表示a的后一个轴和b的前一个轴进行内积
# 但是一个是5一个是4，元素无法一一对应，所以报错，提示shape-mismatch，形状不匹配
# 这里我们把数组b的shape改一下，这样a的后一个轴和b的前一个轴就匹配了，都是5
a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5))
b = np.arange(160).reshape((5, 4, 8))
print(np.tensordot(a, b, 1).shape) # (3, 4, 4, 8)
"""
这样就能够运算了，我们说指定收缩的轴，进行内积运算得到的是一个值
所以这里的(3, 4, 5)和(5, 4, 8)变成了(3, 4, 4, 8)
而上一个例子是(3, 4, 5)和(4, 5, 8)，然后axes=2
因为a的后两个轴和b的前两个轴进行内积变成了一个具体的值，所以最终的维度就是(3, 8)
"""
如果axes为0的话，会有什么结果
import numpy as np a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5)) b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8)) print(np.tensordot(a, b, 0).shape) # (3, 4, 5, 4, 5, 8) print(np.tensordot(b, a, 0).shape) # (4, 5, 8, 3, 4, 5) """ np.tensordot(a, b, 0)等价于将a中的每一个元素都和b相乘 然后再将原来a中的对应元素替换掉 """
上面的操作也可以使用爱因斯坦求和来实现
axes=0
import numpy as np
a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5))
b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8))
c1 = np.tensordot(a, b, 0)
c2 = np.einsum("ijk,xyz->ijkxyz", a, b)
print(c1.shape, c2.shape) # (3, 4, 5, 4, 5, 8) (3, 4, 5, 4, 5, 8)
print(np.all(c1 == c2)) # True
"""
生成的c1和c2是一样的
"""
c3 = np.tensordot(b, a, 0)
c4 = np.einsum("ijk,xyz->xyzijk", a, b)
print(c3.shape, c4.shape) # (4, 5, 8, 3, 4, 5) (4, 5, 8, 3, 4, 5)
print(np.all(c3 == c4)) # True
"""
生成的c3和c4是一样的
"""
那么它们的效率之间孰优孰劣呢？我们在jupyter上测试一下
>>> %timeit c1 = np.tensordot(a, b, 0)
50.5 µs ± 206 ns per loop
>>> %timeit c2 = np.einsum("ijk,xyz->ijkxyz", a, b)
7.29 µs ± 242 ns per loop
可以看到爱因斯坦求和快了不少
axes=1
import numpy as np
a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5))
b = np.arange(160).reshape((5, 4, 8))
c1 = np.tensordot(a, b, 1)
c2 = np.einsum("ijk,kyz->ijyz", a, b)
print(c1.shape, c2.shape) # (3, 4, 4, 8) (3, 4, 4, 8)
print(np.all(c1 == c2)) # True
axes=2
import numpy as np
a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5))
b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8))
c1 = np.tensordot(a, b, 2)
c2 = np.einsum("ijk,jkz->iz", a, b)
print(c1.shape, c2.shape) # (3, 8) (3, 8)
print(np.all(c1 == c2)) # True
axes为列表
如果axes接收的是一个列表：[m, n]，那么表示让a的第m+1个(索引为m)轴和b的第n+1(索引为n)个轴进行内积。使用列表的方法最大的好处就是，可以指定任意位置的轴。
import numpy as np a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5)) b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8)) # 我们看到a的第二个维度(或者说轴)和b的第一个维度都是4，所以它们是可以进行内积的 c1 = np.tensordot(a, b, [1, 0]) # 由于内积的结果是一个标量，所以(3, 4, 5)和(4, 5, 8)在tensordot之后的shape是(3, 5, 5, 8) # 相当于把各自的4给扔掉了(因为变成了标量)，然后组合在一起 print(c1.shape) # (3, 5, 5, 8) # 同理a的最后一个维度和b的第二个维度也是可以内积的 # 最后一个维度也可以使用-1，等于按照列表的索引来取对应的维度 c2 = np.tensordot(a, b, [-1, 1]) print(c2.shape) # (3, 4, 4, 8)
上面的操作也可以使用爱因斯坦求和来实现
import numpy as np
a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5))
b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8))
c1 = np.tensordot(a, b, [1, 0])
c2 = np.einsum("ijk,jyz->ikyz", a, b)
print(c1.shape, c2.shape) # (3, 5, 5, 8) (3, 5, 5, 8)
print(np.all(c1 == c2)) # True
c3 = np.tensordot(a, b, [-1, 1])
c4 = np.einsum("ijk,akz->ijaz", a, b)
print(c3.shape, c4.shape) # (3, 4, 4, 8) (3, 4, 4, 8)
print(np.all(c3 == c4)) # True
axes为列表嵌套列表
如果axes接收的是一个嵌套列表的列表：[[m], [n]]，等于说可以选多个轴
import numpy as np a = np.arange(60).reshape((3, 4, 5)) b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8)) # 我们想让a的后两个轴和b的前两个轴内积 c1 = np.tensordot(a, b, axes=2) c2 = np.tensordot(a, b, [[1,2], [0,1]]) print(c1.shape, c2.shape) # (3, 8) (3, 8) print(np.all(c1 == c2)) # True
但是使用列表进行筛选还有一个好处，就是可以忽略顺序
import numpy as np a = np.arange(60).reshape((4, 3, 5)) b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8)) # 这个时候就无法给axes传递整型了 c3 = np.tensordot(a, b, [[0, 2], [0, 1]]) print(c3.shape) # (3, 8)
此外，使用列表筛选还有一个强大的功能，就是可以倒着取值
import numpy as np a = np.arange(60).reshape((4, 5, 3)) b = np.arange(160).reshape((5, 4, 8)) # 这个时候我们选择前两个轴，但是一个是(4, 5)一个是(5, 4)，所以无法相乘 # 因此在选择的时候需要倒着筛选: # [[0, 1], [1, 0]]-> (4, 5)和(4, 5) 或者 [[1, 0], [0, 1]] -> (5, 4)和(5, 4) c3 = np.tensordot(a, b, [[0, 1], [1, 0]]) print(c3.shape) # (3, 8)
最后同样看看如何爱因斯坦求和来实现
import numpy as np
a = np.arange(60).reshape((4, 5, 3))
b = np.arange(160).reshape((4, 5, 8))
c1 = np.tensordot(a, b, [[0, 1], [0, 1]])
c2 = np.einsum("ijk,ijz->kz", a, b)
print(c1.shape, c2.shape) # (3, 8) (3, 8)
print(np.all(c1 == c2)) # True
a = np.arange(60).reshape((4, 5, 3))
b = np.arange(160).reshape((5, 4, 8))
c1 = np.tensordot(a, b, [[0, 1], [1, 0]])
c2 = np.einsum("ijk,jiz->kz", a, b)
print(c1.shape, c2.shape) # (3, 8) (3, 8)
print(np.all(c1 == c2)) # True
a = np.arange(60).reshape((4, 3, 5))
b = np.arange(160).reshape((5, 4, 8))
c1 = np.tensordot(a, b, [[0, 2], [1, 0]])
c2 = np.einsum("ijk,kiz->jz", a, b)
print(c1.shape, c2.shape) # (3, 8) (3, 8)
print(np.all(c1 == c2)) # True
以两个一维数组为例
我们来通过打印具体的数组来看一下tensordot
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([2, 3, 4])
print(np.tensordot(a, b, axes=0))
"""
[[ 2 3 4]
[ 4 6 8]
[ 6 9 12]]
"""
print(np.einsum("i,j->ij", a, b))
"""
[[ 2 3 4]
[ 4 6 8]
[ 6 9 12]]
"""
# 我们axes=0，等于是a的每一个元素和相乘，然后再把原来a对应的元素替换掉
# 所以是a中的1 2 3分别和b相乘，得到[2 3 4] [4 6 8] [6 9 12]、再替换掉1 2 3
# 所以结果是[[2 3 4] [4 6 8] [6 9 12]]
如果axes=1呢？
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([2, 3, 4])
print(np.tensordot(a, b, axes=1)) # 20
"""
选取a的前一个轴和b的后一个轴进行内积
而a和b只有一个轴，所以结果是一个标量
"""
print(np.einsum("i,i->", a, b)) # 20
如果axes=2呢？首先我们说axes等于一个整型，表示选取a的后n个轴，b的前n个轴，而一维数组它们只有一个轴
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([2, 3, 4])
try:
print(np.tensordot(a, b, axes=2)) # 20
except Exception as e:
print(e) # tuple index out of range
显然索引越界了。
以一个一维数组和一个二维数组为例
我们通过一维数组和二维数组进行tensordot来感受一下
axes=0
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([[2, 3, 4]])
print(np.tensordot(a, b, 0))
"""
[[[ 2 3 4]]
[[ 4 6 8]]
[[ 6 9 12]]]
"""
print(np.einsum("i,jk->ijk", a, b))
"""
[[[ 2 3 4]]
[[ 4 6 8]]
[[ 6 9 12]]]
"""
# 很好理解，就是1 2 3分别和[[2, 3, 4]]相乘再替换掉 1 2 3
print(np.tensordot(a, b, 0).shape) # (3, 1, 3)
##########################
print(np.tensordot(b, a, 0))
"""
[[[ 2 4 6]
[ 3 6 9]
[ 4 8 12]]]
"""
print(np.einsum("i,jk->jki", a, b))
"""
[[[ 2 4 6]
[ 3 6 9]
[ 4 8 12]]]
"""
# 很好理解，就是2 3 4分别和[1 2 3]相乘再替换掉 2 3 4
print(np.tensordot(b, a, 0).shape) # (1, 3, 3)
axes=1的话呢？
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([[2, 3, 4], [4, 5, 6]])
try:
print(np.tensordot(a, b, 1))
except Exception as e:
print(e) # shape-mismatch for sum
# 我们注意到报错了，因为axes=1，表示取a的后一个轴和b的前1个轴
# a的shape是(3, 0)，所以它的后一个轴和前一个轴对应的数组长度都是3
# 但是b的前一个轴对应的数组长度是2，不匹配所以报错
print(np.tensordot(b, a, 1)) # [20 32]
# 我们看到这个是可以的，因为这表示b的后一个轴，数组长度为3，是匹配的
# 让后一个轴的[2 3 4]、[4 5 6]分别和[1 2 3]进行内积，最终得到两个标量
try:
print(np.einsum("i,ij->ij", a, b))
except Exception as e:
print(e)
# operands could not be broadcast together with remapped shapes [original->remapped]: (3,)->(3,newaxis) (2,3)->(2,3)
# 同样对于爱因斯坦求和也是无法这么做的,我们需要换个顺序
print(np.einsum("i,ji->j", a, b)) # [20 32]
# 或者
print(np.einsum("j,ij->i", a, b)) # [20 32]
axes=2的话呢？
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([[2, 3, 4], [4, 5, 6]])
try:
print(np.tensordot(a, b, 2))
except Exception as e:
print(e) # tuple index out of range
# 我们注意到报错了，因为axes=2，表示取a的后两个轴和b的前两个轴
# 而a总共才1个轴，所以报错了
try:
print(np.tensordot(b, a, 2))
except Exception as e:
print(e) # shape-mismatch for sum
# 我们看到虽然也报错了，但是不是报索引越界。
# 因为上面表示取a的前两个轴，虽然a只有一个，但是此时不会索引越界，只是就取一个。如果是取后两个就会越界了
# 此时b是(2, 3)，而a是(3,) 不匹配，可能有人觉得会发生广播，但在这里不会
以两个二维数组为例
我们再通过两个二维数组进行tensordot来感受一下
axes=0
import numpy as np
a = np.array([[1, 2, 3]])
b = np.array([[2, 3, 4], [4, 5, 6]])
# a_shape: (1, 3) b_shape(3, 3)
print(np.tensordot(a, b, 0))
"""
[[[[ 2 3 4]
[ 4 5 6]]
[[ 4 6 8]
[ 8 10 12]]
[[ 6 9 12]
[12 15 18]]]]
"""
print(np.einsum("ij,xy->ijxy", a, b))
"""
[[[[ 2 3 4]
[ 4 5 6]]
[[ 4 6 8]
[ 8 10 12]]
[[ 6 9 12]
[12 15 18]]]]
"""
print(np.tensordot(a, b, 0).shape) # (1, 3, 2, 3)
#############
print(np.tensordot(b, a, 0))
"""
[[[[ 2 4 6]]
[[ 3 6 9]]
[[ 4 8 12]]]
[[[ 4 8 12]]
[[ 5 10 15]]
[[ 6 12 18]]]]
"""
print(np.einsum("ij,xy->xyij", a, b))
"""
[[[[ 2 4 6]]
[[ 3 6 9]]
[[ 4 8 12]]]
[[[ 4 8 12]]
[[ 5 10 15]]
[[ 6 12 18]]]]
"""
print(np.tensordot(b, a, 0).shape) # (2, 3, 1, 3)
axes=1
import numpy as np
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[2, 3, 4], [4, 5, 6]])
# a_shape: (2, 2) b_shape(2, 3)
print(np.tensordot(a, b, 1))
"""
[[10 13 16]
[22 29 36]]
"""
print(np.einsum("ij,jk->ik", a, b))
"""
[[10 13 16]
[22 29 36]]
"""
# 仔细的你肯定发现了，此时就相当于矩阵的点乘
print(a @ b)
"""
[[10 13 16]
[22 29 36]]
"""
axes=2
import numpy as np
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[2, 3, 4], [4, 5, 6]])
# a_shape: (2, 2) b_shape(2, 3)
# 取后两个轴显然不行，因为(2, 2)和(2, 3)不匹配
try:
print(np.tensordot(a, b, 2))
except Exception as e:
print(e) # shape-mismatch for sum
a = np.array([[1, 2, 3], [2, 2, 2]])
b = np.array([[2, 3, 4], [4, 5, 6]])
print(np.tensordot(a, b, 2)) # 50
print(np.einsum("ij,ij->", a, b)) # 50
最后看即个爱因斯坦求和的例子，感受它和主角tensordot的区别，当然如果不熟悉的爱因斯坦求和的话可以不用看
import numpy as np
a = np.random.randint(1, 9, (5, 3, 2, 3))
b = np.random.randint(1, 9, (3, 3, 2))
c1 = a @ b # 多维数组，默认是对最后两位进行点乘
c2 = np.einsum("ijkm,jmn->ijkn", a, b)
print(np.all(c1 == c2)) # True
print(c2.shape) # (5, 3, 2, 2)
print(np.einsum("...km,...mn->...kn", a, b).shape) # (5, 3, 2, 2)
# 但如果是
c3 = np.einsum("ijkm,amn->ijkn", a, b)
print(c3.shape) # (5, 3, 2, 2)
# 由于符号不一样，所以即使shape一致，但是两个数组不一样
print(np.all(c3 == c1)) # False
a = np.random.randint(1, 9, (5, 3, 3, 2))
b = np.random.randint(1, 9, (1, 3, 2))
print(np.einsum("ijmk,jmn->ijkn", a, b).shape) # (5, 3, 2, 2)
print(np.einsum("ijkm,jnm->ijkn", a, b).shape) # (5, 3, 3, 3)到此这篇关于numpy中tensordot的用法的文章就介绍到这了,更多相关numpy tensordot内容请搜索码农之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持码农之家！
