比特币、阿罗不可能定理与投票悖论的交集是什么？

最终结果应当惠及大多数人

今天是美国大选日，昨晚内参《11.4 教链内参：美国大选，新钱对老钱，鹿死谁手？》汇总了一些两方面的信息。受「特朗普交易」退潮影响，隔夜 BTC 一度回踩至 30 日均线 66.9k 附近。

美国大选是一种投票式民主。但是，投票真的能实现民主吗？很遗憾，并不能。即便是排除选票造假、非法投票等操作性问题，在数学上，可以证明，投票并不能实现民主。这正是 1972 年诺贝尔经济学奖肯尼斯·阿罗（Kenneth J. Arrow）的研究成果。

什么是民主？民主是一个群体，通过某种制度方式，做出集体选择或集体决策，这个决策应该符合群体中大部分人的利益需求。

民主是有界限的。美国的民主，是为了符合美国人的利益。它是否可能损害其他非美国人的利益呢？当然可能。

民主的目的是为了做集体决策，或者做出具体的集体选择。投票就是实现这个目的的一种途径和方法。

民主的目标是利益，而不是道德或其他因素，最终结果需要符合大多数人的利益。

即使不考虑一个群体的集体决策是否真的符合多数人的利益，仅仅是在集体选择这一步，阿罗已经证明，没有一种投票制度设计能够真正得到一个结果。

1972年，阿罗在瑞典斯德哥尔摩诺贝尔奖颁奖典礼上的报告《一般经济均衡：目的，分析技术，集体选择》中，他引用了18世纪法国学者孔多塞提出的投票悖论作为生动的例子。

这个例子是这样的：

有张三、李四、王五三个人，中午相约一起去吃午饭。他们的选项有三家：黄焖鸡米饭，达美乐披萨，肯德基汉堡。

张三的偏好是：黄焖鸡 > 披萨 > 汉堡

李四的偏好是：披萨 > 汉堡 > 黄焖鸡

王五的偏好是：汉堡 > 黄焖鸡 > 披萨

请设计一个投票制度，可以让他们三人组成的群体，通过民主投票的方法，选出一个最好的选项出来。

初中数学及格的人都能发现，这样的民主投票制度是不存在的！

若投票结果是黄焖鸡：只有张三一个人满意。而李四和王五两个人都觉得，选黄焖鸡不如选汉堡！

若投票结果是披萨：只有李四一个人满意。而张三和王五两个人都觉得，选披萨不如选黄焖鸡！

若投票结果是汉堡：只有王五一个人满意。而张三和李四两个人都觉得，选汉堡不如选披萨！

可见，即使是在这样一个如此简单的系统中，民主都是无法实现的。无论怎么选，都是绝大多数人不满意。

这还只是三个人选吃啥。如果是三亿人选总统呢？难道就能有什么制度保证投票选举一定可以达成真正的民主决策——即选出的总统有利于最大多数人的利益吗？

更复杂的设计，只会掩盖这个根本性的问题，而绝对不能解决问题。因为这是数学和逻辑的问题，不是通过制度设计可以解决的。

阿罗推广并形式化了这一问题，并进行了严格的数学证明，称为阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）。

在民主决策和投票系统中，人们常常希望根据所有成员的个人偏好来做出集体决策。但阿罗不可能定理表明，任何尝试汇总个人偏好以形成社会偏好的规则，都无法同时满足以下五个看似合理的条件：

1. 非独 裁性（Non-dictatorship）：没有任何一个人能够完全决定社会的偏好。也就是说，社会偏好不应该仅仅等于某个个人的偏好，集体决策应反映多个成员的意见。

2. 一致性（Pareto Efficiency）：如果所有人都偏好 A 超过 B，那么社会的偏好也应反映出 A 优于 B。这是集体决策的一种基本合理性要求。

3. 独立于无关选项（Independence of Irrelevant Alternatives, IIA）：社会对 A 和 B 的偏好关系只应该取决于人们对 A 和 B 的偏好，而不应受其他选项的影响。这意味着加入一个无关选项 C 不应改变 A 和 B 的排序。

4. 集体理性（Transitivity）：如果社会偏好 A 优于 B，且 B 优于 C，那么社会偏好应满足 A 优于 C。即集体偏好必须是一致的，不出现循环偏好。

5. 普遍领域（Unrestricted Domain）：所有可能的个人偏好组合都应该被允许，即无论人们的偏好是怎样的，规则都应能适用。

阿罗证明了，在有三个或更多的候选项时，任何偏好汇总机制都不可能同时满足上述五个条件。换句话说，要么需要放弃其中某一个条件，要么需要接受一个不完美的决策系统（例如，接受一个「独 裁者」来做决策，或者允许系统不满足一致性等条件）。

阿罗不可能定理表明，在追求公平、合理和一致的集体决策时，存在无法避免的矛盾。这一定理对政治学、经济学、社会选择理论和投票制度设计等领域具有深远的影响。它揭示了民主决策的内在局限性，即我们可能无法找到一种完全公平的决策机制来汇总个人偏好。

阿罗不可能定理揭示了集体决策中的基本悖论，即在满足合理条件的情况下，无法设计出一种完美的社会选择规则。它告诉我们，任何集体决策机制都需要在公平性、一致性和合理性之间做出权衡取舍。

在中本聪 2008 年公布的比特币白皮书中，谈到了多数决策的问题。就是在第 4 小节「工作量证明」里。这段话是这么写的：

「工作量证明还解决了在多数决策中确定代表制的问题。如果基于一个 IP 地址 一票制确定多数，那么该制度就有可能被任何有能力分配很多 IP 的人所颠覆。工作量证明本质上是一个 CPU 一票。多数决策由最长链来代表，它有着最大的投入其中的工作量证明。如果多数 CPU 算力被诚实节点所控制，诚实链就会以最快的速度增长并超过任何竞争链。要修改一个过去的区块，攻击者将不得不重做该区块以及所有后续区块的工作量证明，然后追上并超越诚实节点的工作量。我们稍后会展示，随着后继区块被添加，一个较慢的攻击者追上的概率会以指数级衰减。」

中本聪在这里讲的「一个 CPU 一票」，其实是指一份算力一票。至于这一份算力究竟是多少算力呢，其实就是节点算力占整个网络的算力的比例。

分布式系统的一致性问题，其实也是一个集体选择的问题。只不过做出集体选择的，是计算机自动化地执行其所有者的意志罢了。

传统的解决方案都是逻辑投票，比如像什么 BFT（拜占庭容错算法）之类的。FLP 不可能定理已经把这条路给堵死了。

中本聪彻底抛弃了这些已经走入死胡同的老路。比特币白皮书一个字儿都没提那些传统的分布式算法，也没有引述任何相关的参考文献，仿佛它们不存在一般。

在上面的白皮书第 4 小节里，中本聪指出，按「人头」（IP 地址）投票的办法，必然会遇到投假票的问题。就像这次美国大选，没有投票资格的留学生也轻易投了票。甚至很多人自曝过去曾经用猫啊狗啊的名字都能投票。

这在分布式系统中有个术语叫做「女巫攻击」（Sybil attack），即伪造身份攻击。女巫，就是分身的比喻。

美国大选系统能抗女巫攻击吗？看起来是有漏洞的。

有人可能会说，假冒投票收益极小，而可能触及犯罪的损失极大，不会有人去干这种事的。但是，如果是参与竞争的一方，有组织地去搞假票攻击，那就是获益极大的事了。

有人又说，全美搞一套身份证系统，选票记名，是不是就可以解决这个问题？但是，身份证和记名投票又会带来其他妨害民主的问题。况且，身份证的统一颁发和认证，意味着又要引入一个中心化的权力部门。

对比特币系统而言，要彻底地去中心化，也就不可能采用这样中心化的解决方案。

中本聪换了一个思路，他让大家用「工作量证明」来投票。

简单来说，就是谁干的活多，谁的话语权（投票权）就大。注意，不是谁的币多（钱多），谁的话语权大。

和马 克思恩 格斯说的让工人阶级掌权异曲同工。让最普遍的代表先进生产力的群体掌握最大的权力。

为什么？因为持币用户随时可以割肉跑路。而矿工的矿机一旦部署，关机就成废铁。这也是为什么国家的基本盘是工农劳动群众，而不是资本家的原因。

当然，现实社会中干活的多少因为分工等差异不易测量和比较，但是对于比特币系统就简单多了，都是一样的哈希计算，很容易测量和比较。

按工作量证明投票这种生产力民主制，或者叫算力民主制，得到的结果是中本聪讲的「最长链」。

「在 2008 年 11 月 8 日的邮件中，中本聪写道:『CPU 算力的工作量证明投票必须具有最终的发言权。』让每个人都相信最长链 ( 累积算力最大的链 ) 是有效链，这 是建立全球共识的唯一方法。」——《比特币史话》第十一章第 51 话「算力民主制」

可见，比特币系统是「一党制」——只有一条最长链，而不是美国那样的「两党制」——在两条对等的链之间进行选择。否则就要出现「脑裂」。最长链是系统的谢林点（Schelling Point，默认共识，由美国经济学家托马斯·谢林提出）。

任何一个向系统贡献算力的节点都可以获得提议新区块、延长最长链的权利。对最长链的延长，其实也是对最长链的认可和确认。

其他所有贡献算力的节点，则可以通过验证和接纳这个新区块，来实现对被延长了的最长链的认可。

只要超过半数的算力都认可了被延长的最长链，这就是新的全局共识了。

在《比特币史话》第十一章第 51 话「算力民主制」的最后，教链如此总结：

「矿工通过算力投票实现坚持最长链原则一百年不动摇，但是矿工并不能篡改任何共识规则。共识规则由比特币核心开源代码定义，其修改权力掌握在开发团队手中，但是开发团队并不能为所欲为，随意破坏共识规则，因为矿工和用户拥有推举出新的开发团队分叉代码 ( 复制一份开源代码另行维护 ) 的权利。而最终的决定性力量其实还是广大持币用户，他们决定卖出哪个币、买入哪个币，就是在用脚投票。水可载舟，亦可覆舟。但是同时，持币用户是「乌合之众」，他们只有来去随意的消极自由，而没有强迫开发团队修改规则的积极自由或权力。

「让有自由的没权力，有权力的没自由。来去随意，但谁都不能为所欲为。这，就是比特币的算力民主制。」